허수 (Imagining Numbers) 책 - 호기심



하나 둘 셋 우리가 손까락으로 셀 수 있는 수를 자연수라고 하고, 자연수에 아무것도 없는 0과 음의 자연수를 합하여 정수라고 한다. 여기에 나누어 정수로 떨어지지 않는 수인 유리수와 소수점 아래로 끝없이 이어지는 무리수를 더하면 실수가 된다. 실수는 말 그대로 정말인 참인 수라는 뜻일텐데, 양수와 음수를 곱하면 음수가 되고 양수끼리 곱하거나 또는 음수끼리 곱하면 양수가 된다는 것은 누구나 알고 있을 것이다. 따라서 자기 자신을 제곱하면 언제나 양수일 수 밖에 없다. 그런데 수학자들이 복잡한 방정식을 풀다 보니 제곱을 한 것이 음수인 알 수 없는 수 - 허수(虛數, Imaginary Number) - 가 나타난 것이다. 그리고 그 허수가 들어 있는 식을 풀면 결과는 다시 실수라니, 어떻게 이럴 수가?

이 책은 자기 자신을 제곱하여 음수가 되는 허수를 어떻게 이해해야 하는지에 대해 이야기하고 있다. 언뜻 생각해도 논리에 맞지 않는 허수는 그저 이름 그대로 공상의 세계에만 있는 존재일까? 많은 수학자들도 허수를 놓고 골치를 썪였는데, 대수학(Algebra)과 기하학이 만나 허수가 가진 참 뜻이 무엇인지 어떻게 새로운 개념이 만들어졌다고 한다.

오른쪽으로 양수, 왼쪽으로는 음수가 끝없이 이어지는 수(數)직선에서, 양수를 180도 돌려서 움직이면 음수가 되는데 90도를 돌려서 이 직선과 직각으로 만나는 또 다른 수(數)직선을 만들면 그 위에 있는 수들이 바로 허수가 된다는 것이다. 너무나도 단순해 보이는 허수에 대한 이 정의로부터 복소수(Complex Number)로 채워지는 복소 평면이 만들어지고, N차방정식의 해를 구하는 것이 부채꼴 모양의 각을 N등분하는 것과 같다는 것으로 이어진다. 어렴풋이 기억하는 바로는 대학교 때 배웠던 수리물리에서는 복소수를 쓰면 아주 어렵고 복잡한 미적분 문제도 쉽게 풀 수 있었다. 게다가 여지껏 풀리지 않고 있는 리만 가설도 소수(素數, prime number)가 나타나는 규칙을 복소 평면 위의 파동의 지형으로 풀어보려고 했던 것이니(소수의 음악), 종이 위에서 컴퍼스로 살짝 돌린 90도가 우주 전체를 돌린 것이나 마찬가지가 아닐까 싶다.

그렇다면 정말 수란 무엇인지 다시 생각해 보지 않을 수 없다.
손가락으로 세거나 자로 잴 수 있는 어떤 양(量)일 뿐일까?
작은 수에서 큰 수를 뺄 때 만들어지는 양수에 '-'를 붙여 만들어낸 음수, 양수끼리의 곱이 사각형의 넓이라면 음수끼리의 곱은 어떤 뜻이 있는 것일까?
글쓴이는 수는 변환(Transformation)으로도 볼 수 있다고 이야기 한다. 그 뜻을 다 헤아리기는 어렵지만, 빛이 입자이기도 하고 파동이기도 한 것과 비슷한 것처럼 느껴진다. 이렇게 한 발자욱을 내딛으면 또 다른 수학의 새로운 세계가 눈 앞에 펼쳐지는 것이다.

글쓴이는 시 또는 문학의 상상력과 새로운 개념을 만들어 나가는 수학의 상상력을 견주며 수학의 난제를 파헤쳐 가는 신비로운 생각의 흐름의 속내를 덤으로 꺼내 보여주려고 하고 있는데, 스스로도 고백하듯이 그리 다가오지는 않는다. 허수에 생각을 쏟아 붓고 싶다면, 과감하게 뛰어 넘는 것도 좋은 방법이다.

6점.

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